Codeforces 587B Duff in Beach 题解

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Codeforces 587B Duff in Beach 题解

题意

有一个长度为$n$的数组$a_0,a_1,\dots,a_{n-1}$和一个长度为$l$的数组$b_0,b_1,\dots,b_{l-1}$，其中$b$是由$a$得出的，满足$b_i=a_{i\bmod n}$。

给定$n,l,k (1\le n,k,n\times k\le10^6,1\le l\le10^{18})$，求子序列$b_{i_1},b_{i_2},\dots,b_{i_x}$满足以下条件的数量：

  • $1\le x\le k$
  • $\forall 1\le j\le x-1,\left\lfloor\frac{i_j}{n}\right\rfloor+1=\left\lfloor\frac{i_{j+1}}{n}\right\rfloor$
  • $\forall 1\le j\le x-1,b_{i_j}\le b_{i_{j-1}}$，即这个子序列是非下降子序列。

输出这个数量模$10^9+7$。

题解

总结题意，可以知道$b$是由$a$重复$\left\lfloor\frac{l}{n}\right\rfloor$次加上$a$的前$l\%n$项得出的。

求的是一个长度小于$k$的非下降子序列，满足序列中的数在一些连续的“块”($a$重复一次算一块)中 的个数。

考虑DP：

  • $dp(i,j)$表示考虑到第$i$块，选择了这一块的第$j$个数 的合法子序列个数。

这样DP时间复杂度是$O(n^2k)$，需要优化：

因为每一块中只会取一个数，所以把$a$排序，是不会影响结果的。每次维护一个前缀和，这样可以$O(1)$转移，总共是$O(nk)$的。

求出了$dp$数组后

  • 对于$\left\lfloor\frac{l}{n}\right\rfloor$个整块，枚举长度$i$和最后一个数$a_j$，$ans+=dp(i,j)\times(\left\lfloor\frac{l}{n}\right\rfloor-i+1)$。
  • 对于剩下的$l\%n$个数，枚举长度$i$和最后一个数$a_j(0\le j<l\%n)$，$ans+=dp(i,j)$。

Tip：$dp$数组可能很大，要用vector动态开数组。

程序

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// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma G++ optimize(2)
// #pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")

// #include <bits/stdc++.h>
#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <array>
#include <cfenv>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <mutex>
#include <queue>
#include <ratio>
#include <regex>
#include <stack>
#include <tuple>
#include <atomic>
#include <bitset>
#include <cctype>
#include <cerrno>
#include <cfloat>
#include <chrono>
#include <cstdio>
#include <cwchar>
#include <future>
#include <limits>
#include <locale>
#include <memory>
#include <random>
#include <string>
#include <thread>
#include <vector>
#include <cassert>
#include <climits>
#include <clocale>
#include <complex>
#include <csetjmp>
#include <csignal>
#include <cstdarg>
#include <cstddef>
#include <cstdint>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <ctgmath>
#include <cwctype>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <sstream>
#include <ccomplex>
#include <cstdbool>
#include <iostream>
#include <typeinfo>
#include <valarray>
#include <algorithm>
#include <cinttypes>
#include <cstdalign>
#include <stdexcept>
#include <typeindex>
#include <functional>
#include <forward_list>
#include <system_error>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#include <scoped_allocator>
#include <condition_variable>
// #include <conio.h>
// #include <windows.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
typedef float fl;
typedef double ld;
typedef long double LD;
typedef pair<int,int> pii;
#if (WIN32) || (WIN64) || (__WIN32) || (__WIN64) || (_WIN32) || (_WIN64) || (WINDOWS)
#define lld "%I64d"
#define llu "%I64u"
#else
#define lld "%lld"
#define llu "%llu"
#endif
#define ui(n) ((unsigned int)(n))
#define LL(n) ((long long)(n))
#define ull(n) ((unsigned long long)(n))
#define fl(n) ((float)(n))
#define ld(n) ((double)(n))
#define LD(n) ((long double)(n))
#define char(n) ((char)(n))
#define Bool(n) ((bool)(n))
#define fixpoint(n) fixed<<setprecision(n)

const int INF=1061109567;
const int NINF=-1044266559;
const LL LINF=4557430888798830399;
const ld eps=1e-15;
#define MOD (1000000007)
#define PI (3.1415926535897932384626433832795028841971)

/*
#define MB_LEN_MAX 5
#define SHRT_MIN (-32768)
#define SHRT_MAX 32767
#define USHRT_MAX 0xffffU
#define INT_MIN (-2147483647 - 1)
#define INT_MAX 2147483647
#define UINT_MAX 0xffffffffU
#define LONG_MIN (-2147483647L - 1)
#define LONG_MAX 2147483647L
#define ULONG_MAX 0xffffffffUL
#define LLONG_MAX 9223372036854775807ll
#define LLONG_MIN (-9223372036854775807ll - 1)
#define ULLONG_MAX 0xffffffffffffffffull
*/

#define MP make_pair
#define MT make_tuple
#define All(a) (a).begin(),(a).end()
#define pall(a) (a).rbegin(),(a).rend()
#define Log(x,y) log(x)/log(y)
#define SZ(a) ((int)(a).size())
#define rep(i,n) for(int i=0;i<((int)(n));i++)
#define rep1(i,n) for(int i=1;i<=((int)(n));i++)
#define repa(i,a,n) for(int i=((int)(a));i<((int)(n));i++)
#define repa1(i,a,n) for(int i=((int)(a));i<=((int)(n));i++)
#define repd(i,n) for(int i=((int)(n))-1;i>=0;i--)
#define repd1(i,n) for(int i=((int)(n));i>=1;i--)
#define repda(i,n,a) for(int i=((int)(n));i>((int)(a));i--)
#define repda1(i,n,a) for(int i=((int)(n));i>=((int)(a));i--)
#define FOR(i,a,n,step) for(int i=((int)(a));i<((int)(n));i+=((int)(step)))
#define repv(itr,v) for(__typeof((v).begin()) itr=(v).begin();itr!=(v).end();itr++)
#define repV(i,v) for(auto i:v)
#define repE(i,v) for(auto &i:v)
#define MS(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define MC(x) MS(x,0)
#define MINF(x) MS(x,63)
#define MCP(x,y) memcpy(x,y,sizeof(y))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define UN(v) sort(All(v)),v.erase(unique(All(v)),v.end())
#define filein(x) freopen(x,"r",stdin)
#define fileout(x) freopen(x,"w",stdout)
#define fileio(x)\
	freopen(x".in","r",stdin);\
	freopen(x".out","w",stdout)
#define filein2(filename,name) ifstream name(filename,ios::in)
#define fileout2(filename,name) ofstream name(filename,ios::out)
#define file(filename,name) fstream name(filename,ios::in|ios::out)
#define Pause system("pause")
#define Cls system("cls")
#define fs first
#define sc second
#define PC(x) putchar(x)
#define GC(x) x=getchar()
#define Endl PC('\n')
#define SF scanf
#define PF printf

#define j0 J0
#define j1 J1
#define jn Jn
#define y0 Y0
#define y1 Y1
#define yn Yn

inline int Read()
{
    int X=0,w=0;char ch=0;while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}while(isdigit(ch))X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return w?-X:X;
}
inline void Write(int x){if(x<0)putchar('-'),x=-x;if(x>9)Write(x/10);putchar(x%10+'0');}

inline LL powmod(LL a,LL b){LL RES=1;a%=MOD;assert(b>=0);for(;b;b>>=1){if(b&1)RES=RES*a%MOD;a=a*a%MOD;}return RES%MOD;}
inline LL gcdll(LL a,LL b){return b?gcdll(b,a%b):a;}
const int dx[]={0,1,0,-1,1,-1,-1,1};
const int dy[]={1,0,-1,0,-1,-1,1,1};
/************************************************************BEGIN************************************************************/
const int maxn=1000010;

LL n,m,k,a[maxn],b[maxn],l,ans;
map<LL,int> p;
vector<vector<LL> > dp;

int main()
{
	SF("%lld%lld%lld",&n,&l,&k);m=min(k,l/n);
	rep(i,n)
	{
		SF("%lld",&a[i]);
		b[i]=a[i];
	}

	sort(b,b+n);
	rep(i,n) p[b[i]]=i;

	dp.resize(m+2);
	rep1(i,m+1) dp[i].resize(n,(i==1));

	repa1(i,2,m+1)
	{
		LL cur=0,pos=0;
		rep(j,n)
		{
			while(b[pos]<=b[j]&&pos<n) cur=(cur+dp[i-1][pos++])%MOD;
			dp[i][j]=cur;
		}
	}

	rep1(i,m) rep(j,n) ans=(ans+dp[i][j]*((l/n-i+1)%MOD)%MOD)%MOD;
	rep(i,l%n) rep1(j,min(k,l/n+1)) ans=(ans+dp[j][p[a[i]]])%MOD;

	PF("%lld",ans);

	return 0;
}
/*************************************************************END**************************************************************/
__EOF__