Codeforces 1238D AB-string 题解

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Codeforces 1238D AB-string 题解

题意

一个字符串$s$如果 它的每一个字符都属于至少一个长度大于$1$的回文子串，那么称$s$是“好的”。如AABBB,ABAA,AAAAA是好的。

给定一个长度为$n (1\le n\le 3\cdot10^5)$的字符串$s$，求出$s$中好的子串的个数。

题解

设一个字符串$t$由$t_1\dots t_n$组成，则$\forall 1<i<n$，$t_i$属于一个回文子串(默认长度大于$1$，以下同理)。

证明：设$i$满足$1<i<n$，

  • 若$t_i=t_{i-1}$，则它属于回文串$t_{i-1}t_i$。
  • 若$t_i=t_{i+1}$，则它属于回文串$t_it_{i+1}$。
  • 若$t_i\neq t_{i-1},t_i\neq t_{i+1}$，那么$t_{i-1}=t_{i+1}$，则它属于回文串$t_{i-1}t_it_{i+1}$。

那么，只有当$i=1$或$i=n$时，$t_i$才有可能不属于一个回文子串。

下面考虑$t_1$不属于一个回文子串的情况。

  • $t_2\neq t_1$，否则$t_1$属于回文串$t_1t_2$。
  • $\forall i>2$，$t_i\neq t_{i-1}$，否则$t_1$属于回文串$t_1\dots t_i$

$t_n$同理。

所以，$t$只有形如以下四种字符串时，$t$不是好的。

  • AB...B
  • BA...A
  • A...AB
  • B...BA

给定$s$，求$s$中好的子串的个数，那么就可以转化为 所有子串-不是好的子串，即$\frac{n\times(n-1)}{2}-cnt$，$cnt$为不是好的子串。

显然，$cnt$可以$O(n)$求出。

程序

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// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma G++ optimize(2)
// #pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")

// #include <bits/stdc++.h>
#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <array>
#include <cfenv>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <mutex>
#include <queue>
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#include <locale>
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#include <random>
#include <string>
#include <thread>
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#include <cassert>
#include <climits>
#include <clocale>
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#include <csetjmp>
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#include <cstddef>
#include <cstdint>
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#include <iomanip>
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#include <sstream>
#include <ccomplex>
#include <cstdbool>
#include <iostream>
#include <typeinfo>
#include <valarray>
#include <algorithm>
#include <cinttypes>
#include <cstdalign>
#include <stdexcept>
#include <typeindex>
#include <functional>
#include <forward_list>
#include <system_error>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#include <scoped_allocator>
#include <condition_variable>
// #include <conio.h>
// #include <windows.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
typedef float fl;
typedef double ld;
typedef long double LD;
typedef pair<int,int> pii;
#if (WIN32) || (WIN64) || (__WIN32) || (__WIN64) || (_WIN32) || (_WIN64) || (WINDOWS)
#define lld "%I64d"
#define llu "%I64u"
#else
#define lld "%lld"
#define llu "%llu"
#endif
#define ui(n) ((unsigned int)(n))
#define LL(n) ((long long)(n))
#define ull(n) ((unsigned long long)(n))
#define fl(n) ((float)(n))
#define ld(n) ((double)(n))
#define LD(n) ((long double)(n))
#define char(n) ((char)(n))
#define Bool(n) ((bool)(n))
#define fixpoint(n) fixed<<setprecision(n)

const int INF=1061109567;
const int NINF=-1044266559;
const LL LINF=4557430888798830399;
const ld eps=1e-15;
#define MOD (1000000007)
#define PI (3.1415926535897932384626433832795028841971)

/*
#define MB_LEN_MAX 5
#define SHRT_MIN (-32768)
#define SHRT_MAX 32767
#define USHRT_MAX 0xffffU
#define INT_MIN (-2147483647 - 1)
#define INT_MAX 2147483647
#define UINT_MAX 0xffffffffU
#define LONG_MIN (-2147483647L - 1)
#define LONG_MAX 2147483647L
#define ULONG_MAX 0xffffffffUL
#define LLONG_MAX 9223372036854775807ll
#define LLONG_MIN (-9223372036854775807ll - 1)
#define ULLONG_MAX 0xffffffffffffffffull
*/

#define MP make_pair
#define MT make_tuple
#define All(a) (a).begin(),(a).end()
#define pall(a) (a).rbegin(),(a).rend()
#define Log(x,y) log(x)/log(y)
#define SZ(a) ((int)(a).size())
#define rep(i,n) for(int i=0;i<((int)(n));i++)
#define rep1(i,n) for(int i=1;i<=((int)(n));i++)
#define repa(i,a,n) for(int i=((int)(a));i<((int)(n));i++)
#define repa1(i,a,n) for(int i=((int)(a));i<=((int)(n));i++)
#define repd(i,n) for(int i=((int)(n))-1;i>=0;i--)
#define repd1(i,n) for(int i=((int)(n));i>=1;i--)
#define repda(i,n,a) for(int i=((int)(n));i>((int)(a));i--)
#define repda1(i,n,a) for(int i=((int)(n));i>=((int)(a));i--)
#define FOR(i,a,n,step) for(int i=((int)(a));i<((int)(n));i+=((int)(step)))
#define repv(itr,v) for(__typeof((v).begin()) itr=(v).begin();itr!=(v).end();itr++)
#define repV(i,v) for(auto i:v)
#define repE(i,v) for(auto &i:v)
#define MS(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define MC(x) MS(x,0)
#define MINF(x) MS(x,63)
#define MCP(x,y) memcpy(x,y,sizeof(y))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define UN(v) sort(All(v)),v.erase(unique(All(v)),v.end())
#define filein(x) freopen(x,"r",stdin)
#define fileout(x) freopen(x,"w",stdout)
#define fileio(x)\
	freopen(x".in","r",stdin);\
	freopen(x".out","w",stdout)
#define filein2(filename,name) ifstream name(filename,ios::in)
#define fileout2(filename,name) ofstream name(filename,ios::out)
#define file(filename,name) fstream name(filename,ios::in|ios::out)
#define Pause system("pause")
#define Cls system("cls")
#define fs first
#define sc second
#define PC(x) putchar(x)
#define GC(x) x=getchar()
#define Endl PC('\n')
#define SF scanf
#define PF printf

#define j0 J0
#define j1 J1
#define jn Jn
#define y0 Y0
#define y1 Y1
#define yn Yn

inline int Read()
{
    int X=0,w=0;char ch=0;while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}while(isdigit(ch))X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return w?-X:X;
}
inline void Write(int x){if(x<0)putchar('-'),x=-x;if(x>9)Write(x/10);putchar(x%10+'0');}

inline LL powmod(LL a,LL b){LL RES=1;a%=MOD;assert(b>=0);for(;b;b>>=1){if(b&1)RES=RES*a%MOD;a=a*a%MOD;}return RES%MOD;}
inline LL gcdll(LL a,LL b){return b?gcdll(b,a%b):a;}
const int dx[]={0,1,0,-1,1,-1,-1,1};
const int dy[]={1,0,-1,0,-1,-1,1,1};
/************************************************************BEGIN************************************************************/
const int maxn=300010;

int n;
string s;
LL ans;

int main()
{
	cin>>n>>s;

	ans=1ll*n*(n-1)/2;
	rep(i,n)
	{
		for(int j=i+1;j<n;j++) if(s[j]!=s[i]) ans-=(j==i+1?0:1); else break;
	}
	repd(i,n)
	{
		for(int j=i-1;j>=0;j--) if(s[j]!=s[i]) ans--; else break;
	}

	PF("%lld",ans);

	return 0;
}
/*************************************************************END**************************************************************/

Tip: 这个程序看似是$O(n^2)$的，实际上是$O(n)$的。这里不再赘述。

__EOF__